如何理解傅里叶变换公式？

2.为什么式中的e^(-jwt)部分会出现一个负号？有什么特定的意义？

【陳浩的回答(11票)】

先回答2，负号是个约定，你可以写成正号，不过那样的话要把整本书的符号都改掉。一般在书的最前面会说明这个约定。

然后回答1

傅里叶变换就是把信号表示成正弦波的叠加。经过傅里叶变换，信号f(t)变为F(w)，F(w)的大小表征了频率为w的正弦波的强度。你的问题是要解释一下为什么这样变换就可以做到这件事。

数学上，我们说正弦波是正交的，意思是e^(jwt) e^(-jw't)积分后是delta函数，w'=w时为无穷大，否则为0。试类比矢量的正交，设x,y分别是二维空间里两个方向的单位矢量，他们正交是指他们之间的点积x.x=y.y=1, x.y=0。

现在请把e^(jwt) e^(-jw't)的积分看做两个正弦波e^(jwt)和e^(jw't)的“点积”。一般一些的话，两个任意信号f1和f2的“点积”就定义为f1乘上f2的共轭，再积分。

对一个矢量v，它和x的点积v.x就是矢量v在x方向上的分量大小。类比两个信号的“点积”，正弦波就相当于单位矢量。你现在是否理解了为什么乘上一个正弦波再积分就可以得到这个正弦波的强度？

没有LaTeX真不爽……

【钱争予的回答(9票)】

// 在@陳浩 的基础上补充一些。

// 顺便捋清一些概念，便于理解 : )

(1) 傅里叶展开

傅里叶展开，是将一个周期性函数，改写成一系列正弦函数和余弦函数的级数之和，且该“和”的极限，与原函数相等。（虽然正弦和余弦只相差一个 90度 的相角，但是这样说比较易于理解，后面会再提到）。级数的每一项系数，被称做“傅立叶系数”，可记为 F(nw)。w 是该原函数的周期所对应的角频率（基频）。

扩展内容，可参考[1]及其延伸。

(2) 傅里叶变换

对于非周期函数，如果也希望像 (1) 中那样 “展开”，则需要进行一定“推广”。将原本的“离散级数和”推广成为“连续积分和”后，即可解决这一问题。（具体推导略，可查教科书。）这种连续积分和的表达，就叫“傅里叶逆变换”。

在逆变换中，原本的 F(nw)，被推广为 F(W)；它的值为：

2PI*F(nw)/w 的极限，其中w趋向于零。

这里用w和W来区分前后两个自变量，其中 dW = delta(nw)。

显然，通过傅里叶逆变换的等式，可以反解出 F(W) 的表达式。这就是“傅里叶变换”。

(3) 时域和频域

个人认为，从时域变换到频域，其实只是一种“看法”或“表示方法”上的转变。由于三角函数都是单频的，因此，将原函数改写成多个三角函数的和的形式，便于直接从表达式中观察出它的“频率成分”；同时，也便于直接在频率组成上对原函数进行进一步的处理。

(4) 关于某个叫欧拉的人所干的事情

^{e^(-jwt) = cos(wt) - jsin(wt)e^(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)}

^{sin(wt) = (1/2j) [e^(jwt) - e^(-jwt)]cos(wt) = (1/2j) [e^(jwt) + e^(-jwt)]}

（关于以上公式，参见复分析领域欧拉公式相关内容[2]。）

有了以上公式，就可将傅里叶级数、傅里叶变换/反变换等相关公式，改写成“指数形式（e的指数形式）”。

它同时展示了一点：

e^(jwt) 在复平面中，可以作为一个“基”，因为它已经包含了实轴（实数单位“1”）上和虚轴（虚数单位“j”）上两个正交的“基”。这也从另一个方面解释了，为什么总是可以用之前傅里叶的方法，来“分解”很多函数。

(5) 关于“负号”那货

谈下个人想法。

在“傅里叶展开”和“傅立叶逆变换”中，都是以 e^(jwt) 或 e^(jWt) 的样子出现的，没有负号，这个时候，原函数在等号左边，展开式和傅里叶系数（F(nw) 或 F(W)）在等号右边。

当我们要反解出傅里叶系数时，它自己跑去等号左边，而原本跟它在一起的 e^(jwt) 或 e^(jWt) 还呆在等号右边，因此，不得不出现一个负号（由乘除法引入，因此负号在指数中）。

一般逻辑上，我们推导的顺序是：

[傅里叶级数展开] --(推广)-- > [傅立叶逆变换] --(反解)-- > [傅立叶变换]

因此，在傅里叶变换中，大家就看到一个带上负号的 e^(-jWt) 了。

[1] http://zh.wikipedia.org/wiki/傅立叶分析

[2] http://zh.wikipedia.org/wiki/欧拉公式

【夏晓昊的回答(3票)】

我个人认为对傅里叶最简单的理解就是，对于一个耳朵能够听到的，实际上只是你的耳朵中鼓膜的杂乱无章的震动而已，而你之所以能听出有音乐，有人在说话，是因为在每一个极小的时间片段上，你的耳朵都在记录下该段震动的动作，并将其进行实时的傅里叶变换得到此时的频率以及其幅度信息（相位信息也能得到，但是根据研究人耳对相位信息并不敏感。）当每一个这样的极小的时间片段累计起来以后，你就能像音乐软件上的频谱仪一样感觉到听觉，而不是单纯的耳膜咣咣震而已。

实际上对于视觉也是相同的，你能看到颜色正是因为你眼前的二维画面上的每一个小点都包含着对视网膜神经的冲击（震动），而实时的傅里叶变换将其还原为不同频率的电磁波累加从而得到了该点上的颜色，而二维画面正是由于无数这样的小点构成。

因此傅里叶变换具备极其重要的意义，如果你要问为什么傅里叶变换就能从时域变换到频域的话，只能说时域具有物理学含义，一直在那里，而频域也具有物理学含义，也一直都在那里，但是傅里叶变换的结果刚好就是能将时域下的值正确地映射到频域下而已。也许还有其他变换能做到同样的事，当然这些就是纯数学领域下的讨论了。

【王宇的回答(1票)】

按教材的理解就行：

1.首先傅立叶级数，周期信号可以表示为正弦波的叠加。条件是不连续点个数的勒贝格测度是0。

2.非周期信号的处理，进行周期延拓、奇延拓、偶延拓。然后求傅立叶级数。

3.就是非周期信号，也不进行延拓。经过推导（积分、黎曼勒贝格的工作）可得傅立叶变换。

 傅立叶变换是傅立叶级数的推广。

【语翔的回答(0票)】

你也可以从概率论中的特征函数去理解它。

【周振肖的回答(0票)】

对时域和频域变化的补充：

对e^(-jwt)展开成泰勒级数的话，会产生(j*w*t)^n  这样的形式，去掉表达复数的j,那在实部和虚部分别会有(wt)^n+wt^(n+2*k)这样的形式出现，也就是有(wt)的不同幂出现的情况。而物理上的加和必须保证两个加和的项是相同量纲的，A+B能进行运算的前提是A和B的量纲一样，要是质量都是质量，要是长度都是长度等等。考虑这个，那必然要求W*T是一个无量纲数，如果把T理解为时间的话，那W的量纲就是

【T】^(-1), 也就是频率。

在物理里面常用的变换中，是e^(-i*p*x/h)这样的形式，其中p是动量，量纲是

【M*L*T^(-1)】x是位置，量纲是

【L】 h是普朗克常数，量纲是

【M*L^2*T^(-1)】  乘积刚好是无量纲的。还有时间演化e^(-i*E*t/h) 其中E的量纲是

【M*L^2*T^(-2)】  时间的量纲是

【T】两者的乘积和普朗克常数的量纲刚好相等。

一般如果对数学公式要建立“物理意义的解释”，比如这个里面的时域和频域，那就必须考虑量纲的问题。纯粹的数学公式是无量纲的，在物理里面的对应是去量纲化公式。

【ncudsp的回答(0票)】

1.为什么按照傅里叶公式做就可以将信号从时域转变到频域？

简单来说这个问题是错的，应为频域的定义就是根据傅立叶变换来的，在傅立叶变换之前，只有频率的概念，没有频域的概念。

2.为什么式中的e^(-jwt)部分会出现一个负号？有什么特定的意义？ 

数学上的问题而已，频域和时域为描述信号的两个不同。如果把时域当作x轴，频域当成y轴。那么傅立叶变换的过程其实就是把信号做投射，从x轴投射到y轴，或者从y轴投射到x轴，e^(-jwt)和e^(jwt)做位两个旋转因子是一定会彼此存在的，这个部分的理解可以参考高中数学象限变换的概念。也就是说，我们定义了傅立叶正变幻是有e^(-jwt)，那么反变换就一定是e^(jwt)，如果定义正变换是e^(jwt)，那么反变换就是e^(-jwt)。

【怒海苍天的回答(0票)】

没那么多话，傅里叶就是把非周期性、无规律的波形分解为不同频率的正弦波，你说算出来的——或者说频域——只是这个正弦波的幅值。

我倒是很想知道Laplace变换是什么意思，怎样从物理上直观地理解复频域，它又是怎样同时域联系起来的

【谷志的回答(0票)】

网上摘录的一个小故事，觉得对于理解三大变换很有意思。^{张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过"信号与系统"这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。} 

然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，画了一个波形图。 

"很好！"经理说。然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！" 

这下张三懵了，他在心理想"上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?" 

于是上帝出现了: "张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"。 

上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！" 

张三照办了，"然后呢?" 

上帝又说，"对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。" 

张三领悟了:" 哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?" 

上帝说:"叫卷积！" 

从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！ 

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张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。 

经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说: "看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明，而且，它连续不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！" 

张三摆摆手:"输入信号是无限时长的，难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗?" 

经理怒了:"反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！" 

张三心想:"这次输入信号连公式都给出来，一个很混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办呢?" 

及时地，上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来" 

"宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。" 

"我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了" 

"同时，时间域的卷积在f域是简单的相乘关系，我可以证明给你看看" 

"计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！" 

张三谢过了上帝，保住了他的工作。后来他知道了，f域的变换有一个名字，叫做傅里叶，什么什么... ... 

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再后来，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三开始学拉普拉斯了......  

【宋宇波的回答(0票)】

补充一下：

傅里叶变化只是提供了另外一种解决问题的方式，使得一些在时域中难以处理的问题转化到另外一个域中

傅里叶变换实质是把一个信号分解成为许多正弦信号的和。（因为e和sin、cos的那个关系，没法写那个公式），所以在频域中对应有两种表达的方式

在时域、频域、复频域中都有先对应的方法，傅里叶变换，拉普拉斯变换

《信号与系统》这本书中有更详细的解释。